指數(shù)與指數(shù)冪的運算教案
指數(shù)與指數(shù)冪的運算教案
[課題]
授課地點：佛岡中學高一（21）班
授課教師：
授課時間：
聽課教師：高一級數(shù)學備課組
[目標]
1.知識與技能：理解根式的概念，掌握n次方根的性質(zhì)
2.過程與方法：
（1）.通過師生之間、學生與學生之間互相交流，使學生逐步學會共同學習.
（2）引導學生認真體會數(shù)學知識發(fā)展的邏輯合理性、嚴謹性，做一個具備嚴謹科學態(tài)度的人.
（3）通過探究、思考，培養(yǎng)學生思維遷移能力和主動參與的能力
3.情感態(tài)度與價值觀：
（1）.新知識的發(fā)現(xiàn)是因為面臨的問題以原有的知識得不到解決所引發(fā)出來的思考，通過學習根式的概念，使學生認清 基本概念的來龍去脈，加深對人類認識事物的一般規(guī)律的理解和認識，體會知識之間的有機聯(lián)系，感受數(shù)學的整體性，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W精神.
（2）在過程中，通過學生的自主探索，來加深理解n次方根的性質(zhì)，具有探索能力是學習數(shù)學、理解數(shù)學、解決數(shù)學問題的重要方面。
[教學重點與難點]：
1. 重點：1.根式的概念.。2.n次方根的性質(zhì)。
2.難點：1.根式概念的理解。2.n次方根性質(zhì)的理解。
[教學方法與手段]
1.教學方法：啟發(fā)式、探究式教學
2.教學手段：運用多媒體教學
[教學過程]
一、創(chuàng)設情景，引入新課
師：你們知道考古學家是怎樣來判斷生物的發(fā)展與進化的嗎？
生：對生物體化石 的研究.
師：那么他們是怎樣來判斷該生物體所處的年代的?你們知道嗎?
（眾生搖頭）
師：考古學家是按照這樣一個規(guī)律來推測的.
問題：當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關系，這個關系式應該怎樣表示呢?我們可以先來考慮這樣的問題：
當生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的多少?
生： ，（ ）2，（ ）3，….
師：當生物體死亡了6000年，10000年，100000年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的多少?
生：（ ） ，（ ） ，（ ） .
師：由以上的實例來推斷關系式應該是什么?
生：P=（ ） .
師：考古學家根據(jù)上式可以知道，生物死亡t年后，體內(nèi)碳14含量P的值.那么這些數(shù)（ ） ，（ ） ，（ ） 的意義究竟 是什么呢？它和我們初中所學的指數(shù)有什么區(qū)別?
生：這里的指數(shù)是分數(shù)的形式.
師：指數(shù)可以取分數(shù)嗎?除了分數(shù)還可以取其他的數(shù)嗎?我們對于數(shù)的認識規(guī)律是怎樣的?
生：自然數(shù)??整數(shù)??分數(shù)（有理數(shù)）??實數(shù).
師：指數(shù)能否取分數(shù)（有理數(shù)）、無理數(shù)呢？如果能，那么在脫離開上面這個具體問題以后，關系式P=（ ） 就會成為我們后面將要相繼研究的一類基本初等函數(shù)??“指數(shù)函 數(shù)”的一個具體模型.為了能水到渠成地研究指數(shù)函數(shù)，我們有必要認識一下指數(shù)概念的擴充和完善過程，這就是我們下面三節(jié)課將要研究的內(nèi)容：分數(shù)指數(shù)冪（有 理數(shù)指數(shù)冪）、無理數(shù)指數(shù)冪.
（引入課題，書寫課題??指數(shù)與指數(shù)冪的運算）
二、講解新課
（一）探求n次方根的概念
師：32=9，那么，在這個等式中3對于9來說，扮演著什么角色？9對于3來說又扮演著什么角色呢?
生：9叫做3的平方數(shù)，3叫做9的平方根.
師：若53=125，那么125對于5來說，扮演著什 么角色？5對于125來說又扮演著什么角色呢?
生：125是5的立方數(shù)，5是125的立方根.
師：如果x2=a，那么x對于a來說扮演著什么角色？
生：x是a的平方根.
師：能否用一句話描述你的結論？
生：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根.
師：如果x3=a，那么x對于a來說又扮演著什么角色？
生 ：x是a的立方根.
師：能換一種說法表述你的結論嗎？
生：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根.
師：如果x4=a，x5=a，又有什么樣的結論呢？
生：如果一個數(shù)的四次方等于a，那么這個數(shù)叫做a的四次方根；如果一個數(shù)的五次方等于a，那么這個數(shù)叫做a的五次方根.
師：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫 做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否據(jù)此得到一個一般性的結論？
生：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.
師：上述結論中的n的取值有沒有什么限制呢？
（生探索，完善n次方根的定義，并強調(diào)n的取值范圍，師板書如下定義）
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根（n?throot），其中n＞1，且n∈N*.
（二）概念理解
課堂訓練：
試根據(jù)n次方根的定義分別求出下列各數(shù)的n次方根.
（多媒體顯示，生完成）
（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；
（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.
（師組織學生緊扣n次方根的定義，完成以上各題）
方法引導：在n次方根的概念中，關鍵的是數(shù)a的n次方根x滿足xn=a，因此求一個數(shù)a的n次方根，就是求出哪個數(shù)的n次方等于a.
（三）n次方根的性質(zhì)
合作探究：觀察并分析以上各數(shù)的方根，你能發(fā)現(xiàn)什么？
（學生交流，師及時捕捉與如下結論有關的信息，并簡單板書）
1.以上各數(shù)的對應方根都是有理數(shù)；
2.第（1）、第（4）的答案有兩個，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一個；
3.第（1）題的答案中的兩個值互為相反數(shù).
師：請仔細分析以上各題，你能否得到一個一般性的結論？
（提供一個比較發(fā)散的問題，給學生提供廣闊的思維空間，培養(yǎng)學生理性思維能力和數(shù)學的分析問題、解決問題的能力）
生甲：一個數(shù)的奇次方根只有一個.
生乙：一個數(shù)的偶次方根有兩個，且互為相反數(shù).
師：是否任何一個數(shù)都有偶次方根？0的n次方根如何規(guī)定更合理？
生：因為任何一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，所以負數(shù)沒有偶次方根，0的n次實數(shù)方根等于0.
師：你能否把你所得到的結論再敘述的 具體一些呢？
（組織學生交流，得出以下結論）
n次方根的性質(zhì)實際上是平方根和立方根性質(zhì)的推廣，因此跟立方根和平方根的情況一樣，方根也有如下性質(zhì)：
（1）當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù).這時，a的n次方根用符號 表示.
（2）當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)a的正的n次方根用符號 表示，負的n次方根用符號－ 表示.正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成± （a＞0）.
注：①負數(shù)沒有偶次方根；
②0的任何次方根都是0，記作 =0；
③當a≥0時， ≥0，所以類似 =±2的寫法是錯誤的.
（四）根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).
例如 叫做根式，其中5叫做根指數(shù)，6叫做被開方數(shù).
（五）n次方根的運算性質(zhì)
求下列各式的值：
（1）（ ）2；（2） ；（3） ；（4） （a＞3）.
（生板演，師組織學生評析）
解：（1）（ ）2=5；（2） =－2；（3） =－2=2；（4） =
3－a=a－3.
師：上面的例題中涉及了哪幾類問題?
生：主要涉及了（ ）n與 的問題.
合作探究：（1）（ ）n的含義是什么？其化簡結果是什么呢？
（2） 的含義是什么？其化簡結果是什么呢？
（組織學生結合例題及其解答，進行分析討論、歸納出以下結論）
（1）（ ）n=a.例如，（ ）3=27，（ ）5=－ 32.
（2）當n是奇數(shù)時， =a；當n是偶數(shù)時， =a= 例如， =－2， =2； =3， =－3=3.
（六）例題講解
（生板演，師組織學生進行課堂評價）
【例1】求下列各式的值：
（1）（ ）3；（2） ；（3） ；（4） （a＞b）.
解：（1） （ ）3=－8；（2） =10；
（3） =π－3；（4） =a－b=a－b.
【例2】化簡下列各式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .
解：（1） = = = ；（2） = = ；
（3） =－ =－ ；（4） = =x2；
（5） = = .
三、課堂練習
1.若x∈ R，y∈R，下列各式中正確的是
A. =x+y B. － =x－y
C. + =2xD. + =0
2. = 成立的條件是
A. ≥0B.x≠1C.x＜1D.x≥2
3.在① ；② ；③ ；④ （各式中n∈N，a∈R）中，有意義的是
A.①②B.①③C.①②③④D.①③④
4.當8＜x＜10時， － =________.
參考答案：
1.D2.D3.B4.2x－18
四、課堂小結
師：請同學們互相交流一下你在本課學習中的收獲.
（生互相交流，而后由師多媒體顯示如下內(nèi)容）
1.若xn=a（n＞1，n∈N*），則x叫做a的n次方根.當n是奇數(shù)時，實數(shù)a的n次方根用符號 表示；當n是偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根用符號± 表示，負數(shù)的偶次方根無意義.式 子 叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).
2.在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)；負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù).正數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數(shù)；負數(shù)的偶次方根沒有意義；0的任何次方根都是0.
3.（1）（ ）n=a.
（2）當n為奇數(shù)時， =a；當n為偶數(shù)時， =a=
五、布置作業(yè)
（一）復習課本第5本P69習題2.1A組第1題.
板書設計
2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算（1）
一、基本概念和性質(zhì)
1.n次方根的定義
2.n次方根的性質(zhì)
3.根式的定義
4.n次方根的運算性質(zhì)
二、例題解析即學生訓練板演
例1.求下列各式的值
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