數(shù)學(xué)第四章《圓與方程》復(fù)習(xí)測(cè)試題
三、解答題
11.已知為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2，3).
⑴求的最大值和最小值；
⑵若P()在圓上，求線(xiàn)段的長(zhǎng)及直線(xiàn)的斜率.
考查目的：考查圓的方程的互化，直線(xiàn)的斜率，點(diǎn)和圓、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系及其運(yùn)用.
答案：⑴，；⑵，.
解析：⑴圓的方程可化為，∴圓心的坐標(biāo)為(2，7)，半徑，∴，∴，.
⑵∵點(diǎn)P()在圓上，∴，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，5)，∴，.
12.設(shè)圓上的點(diǎn)A(2，3)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓上，且圓與直線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)為，求圓的方程.
考查目的：考查圓的方程及其性質(zhì)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.
答案：圓的方程為或.
解析：設(shè)圓的方程為.∵圓上的點(diǎn)A(2，3)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓上，∴圓心在上，∴①.
∵圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，∴②.
由點(diǎn)A(2，3)在圓上，得③.
聯(lián)立①②③，解得或
∴圓的方程為或.
13.已知圓C：內(nèi)有一點(diǎn)P(2，2)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)交圓C于A、B兩點(diǎn).
⑴當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，求直線(xiàn)的方程；
⑵當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程；
⑶當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，求弦AB的長(zhǎng).
考查目的：考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，以及直線(xiàn)方程的求法.
答案：⑴；⑵；⑶.
解析：⑴已知圓C：的圓心為C(1，0).∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P、C，∴直線(xiàn)的斜率為2，直線(xiàn)的方程為，即.
⑵當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，直線(xiàn)⊥PC，∴直線(xiàn)的方程為，即.
⑶當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，斜率為1，直線(xiàn)的方程為，即.又∵圓心C(1，0)到直線(xiàn)：的距離為，圓C的半徑為3，∴弦AB的長(zhǎng)為.
14.已知圓P：與以原點(diǎn)為圓心的圓Q關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).
⑴求的值；
⑵若兩圓的交點(diǎn)為A、B，求∠AOB的度數(shù).
考查目的.：考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用.
答案：⑴；⑵.
解析：⑴圓P：的方程可寫(xiě)成.
∵圓P：和以原點(diǎn)為圓心的圓Q關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
∴直線(xiàn)是以?xún)蓤A圓心P、Q為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，
∴，解得.
∵點(diǎn)(0，0)與(-4，2)的中點(diǎn)(-2，1)在直線(xiàn)上，∴，解得.
⑵圓心P(-4，2)到的距離為，
又∵圓P的半徑為，∴，由得.
15.(2008江蘇)設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.求：
⑴求實(shí)數(shù)的取值范圍；
⑵求圓C的方程；
⑶問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與無(wú)關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
考查目的：考查二次函數(shù)圖像和性質(zhì)、圓的方程的求法.
答案：⑴且；⑵；⑶圓C必過(guò)定點(diǎn)(0，1)，(-2，1).
解析：⑴∵圓C經(jīng)過(guò)二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，∴.令，得拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)是(0，).令，得，此時(shí)，解得.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是且.
⑵設(shè)所求圓的一般方程為.令，得，這與是同一個(gè)方程，∴，.令，得，此方程有一個(gè)根為，代入得.∴圓C的方程為.
⑶圓C過(guò)定點(diǎn)，證明如下：假設(shè)圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn).將該點(diǎn)坐標(biāo)代入圓C的方程，并變形得①.①式對(duì)所有滿(mǎn)足且的實(shí)數(shù)都成立，必須且，解得或.經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0，1)，(-2，1)均在圓C上，∴圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
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