數學定理的教案

數學定理的教案

　　作為一位無私奉獻的人民教師，就難以避免地要準備教案，編寫教案有利于我們弄通教材內容，進而選擇科學、恰當的教學方法。怎樣寫教案才更能起到其作用呢？以下是小編整理的數學定理的教案，歡迎大家分享。

數學定理的教案1

　　教學目標

　　1、知識與技能目標：探索并理解直角三角形的三邊之間的數量關系，通過探究能夠發現直角三角形中兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方和。

　　2、過程與方法目標：經歷用測量和數格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發展學生的合情推理能力。

　　3、情感態度與價值觀目標：通過本節課的學習，培養主動探究的習慣，并進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。

　　教學重點

　　了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。

　　教學難點

　　勾股定理的探究以及推導過程。

　　教學過程

　　一、創設問題情景、導入新課

　　首先出示：投影1（章前的圖文）并介紹我國古代在勾股定理研究方面的貢獻，結合課本第六頁談一談我國是最早了解勾股定理的國家之一，介紹商高（三千多年前周期的數學家）在勾股定理方面的貢獻。

　　出示課件觀察后回答：

　　1、觀察圖1—2，正方形A中有_______個小方格，即A的面積為______個單位。

　　正方形B中有_______個小方格，即B的面積為______個單位。

　　正方形C中有_______個小方格，即C的面積為______個單位。

　　2、你是怎樣得出上面的結果的？

　　3、在學生交流回答的基礎上教師進一步設問：圖1—2中，A，B，C面積之間有什么關系？學生交流后得到結論：A+B=C。

　　二、層層深入、探究新知

　　1、做一做

　　出示投影3（書中P3圖1—3）

　　提問：（1）圖1—3中，A，B，C之間有什么關系？（2）從圖1—2，1—3中你發現什么？

　　學生討論、交流后，得出結論：以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊為邊的正方形面積。

　　2、議一議

　　圖1—2、1—3中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？

　�。�1）你能發現直角三角形三邊長度之間的關系嗎？在同學交流的基礎上，共同探討得出：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”。也就是說如果直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c那么。我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來。

　�。�2）分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度（學生測量后回答斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規律，對這個三角形仍然成立嗎？

　　3、想一想

　　我們常見的電視的尺寸：29英寸（74厘米）的電視機，指的是屏幕的長嗎？還是指的是屏幕的寬？那他指什么呢？能否運用剛才所學的知識，檢驗一下電視劇的尺寸是否合格？

　　三、鞏固練習。

　　1、在圖1—1的問題中，折斷之前旗桿有多高？

　　2、錯例辨析：△ABC的兩邊為3和4，求第三邊

　　解：由于三角形的兩邊為3、4

　　所以它的第三邊的c應滿足

　　=25即：c=5辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條件，可本題三角形ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據。（2）若告訴△ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足，題目中并未交待C是斜邊。

　　綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得

　　四、課堂小結

　　鼓勵學生自己總結、談談自己本節課的收獲，以及自己對勾股定理的理解，老師加以糾正和補充。

　　五、布置作業

數學定理的教案2

　　學習目標：

　　(1) 知識與技能 ：

　　掌握三角形內角和定理的證明過程，并能根據這個定理解決實際問題。

　　(2) 過程與方法 ：

　　通過學生猜想動手實驗，互相交流，師生合作等活動探索三角形內角和為180度，發展學生的推理能力和語言表達能力。對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。逐漸由實驗過渡到論證。

　　通過一題多解、一題多變等，初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發展。

　　(3)情感態度與價值觀：

　　通過猜想、推理等數學活動，感受數學活動充滿著探索以及數學結論的確定性，提高學生的學習數學的興趣。使學生主動探索，敢于實驗，勇于發現，合作交流。

　　一.自主預習

　　二.回顧課本

　　1、三角形的內角和是多少度?你是怎樣知道的?

　　2、那么如何證明此命題是真命題呢?你能用學過的知識說一說這一結論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴進行交流。

　　3、回憶證明一個命題的步驟

　　①畫圖

　�、诜治雒�題的題設和結論，寫出已知求證，把文字語言轉化為幾何語言。

　�、鄯治�、探究證明方法。

　　4、要證三角形三個內角和是180，觀察圖形，三個角間沒什么關系，能不能象前面那樣，把這三個角拼在一起呢?拼成什么樣的角呢?

　�、倨浇牵�②兩平行線間的同旁內角。

　　5、要把三角形三個內角轉化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把三個角轉化為平角或兩平行線間的同旁內角呢?

　�、� 如圖1，延長BC得到一平角BCD，然后以CA為一邊，在△ABC的外部畫A。

　　② 如圖1，延長BC，過C作CE∥AB

　�、� 如圖2，過A作DE∥AB

　�、� 如圖3，在BC邊上任取一點P，作PR∥AB，PQ∥AC。

　　三、鞏固練習

　　四、學習小結：

　　(回顧一下這一節所學的，看看你學會了嗎?)

　　五、達標檢測：

　　略

　　六、布置作業

數學定理的教案3

　　教學建議

　　1、平行線等分線段定理

　　定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他需直線上截得的線段也相等。

　　注意事項：定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的特殊的平行線組;它是由三條或三條以上的平行線組成。

　　定理的作用：可以用來證明同一直線上的線段相等;可以等分線段。

　　2、平行線等分線段定理的推論

　　推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰。

　　推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

　　記憶方法：“中點”+“平行”得“中點”。

　　推論的用途：（1）平分已知線段;（2）證明線段的倍分。

　　重難點分析

　　本節的重點是平行線等分線段定理。因為它不僅是推證三角形、梯形中位線定理的基礎，而且是第五章中“平行線分線段成比例定理”的基礎。

　　本節的難點也是平行線等分線段定理。由于學生初次接觸到平行線等分線段定理，在認識和理解上有一定的難度，在加上平行線等分線段定理的兩個推論以及各種變式，學生難免會有應接不暇的感覺，往往會有感覺新鮮有趣但掌握不深的情況發生，教師在教學中要加以注意。

　　教法建議

　　平行線等分線段定理的引入

　　生活中有許多平行線等分線段定理的例子，并不陌生，平行線等分線段定理的引入可從下面幾個角度考慮：

　�、購纳�活實例引入，如刻度尺、作業本、柵欄、等等;

　�、诳捎脝栴}式引入，開始時設計一系列與平行線等分線段定理概念相關的問題由學生進行思考、研究，然后給出平行線等分線段定理和推論。

　　教學設計示例

　　一、教學目標

　　1、使學生掌握平行線等分線段定理及推論。

　　2、能夠利用平行線等分線段定理任意等分一條已知線段，進一步培養學生的作圖能力。

　　3、通過定理的變式圖形，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力。

　　4、通過本節學習，體會圖形語言和符號語言的和諧美

　　二、教法設計

　　學生觀察發現、討論研究，教師引導分析

　　三、重點、難點

　　1、教學重點：平行線等分線段定理

　　2、教學難點：平行線等分線段定理

　　四、課時安排

　　l課時

　　五、教具學具

　　計算機、投影儀、膠片、常用畫圖工具

　　六、師生互動活動設計

　　教師復習引入，學生畫圖探索;師生共同歸納結論;教師示范作圖，學生板演練習

　　七、教學步驟

　　【復習提問】

　　1、什么叫平行線？平行線有什么性質。

　　2、什么叫平行四邊形？平行四邊形有什么性質？

　　【引入新課】

　　由學生動手做一實驗：每個同學拿一張橫格紙，首先觀察橫線之間有什么關系？（橫線是互相平等的，并且它們之間的距離是相等的），然后在橫格紙上畫一條垂直于橫線的直線 ，看看這條直線被相鄰橫線截成的各線段有什么關系？（相等，為什么？）這時在橫格紙上再任畫一條與橫線相交的直線 ，測量它被相鄰橫線截得的線段是否也相等？

　�。ㄒ龑�學生把做實驗的條件和得到的結論寫成一個命題，教師總結，由此得到平行線等分線段定理）

　　平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上掛得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。

　　注意：定理中的“一組平行線”指的是一組具有特殊條件的平行線，即每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組，這一點必須使學生明確。

　　下面我們以三條平行線為例來證明這個定理（由學生口述已知，求證）。

　　已知：如圖，直線 ， 。

　　求證： 。

　　分析1：如圖把已知相等的線段平移，與要求證的兩條線段組成三角形（也可應用平行線間的平行線段相等得 ），通過全等三角形性質，即可得到要證的結論。

　�。ㄒ龑�學生找出另一種證法）

　　分析2：要證的兩條線段分別是梯形的腰，我們借助于前面常用的輔助線，把梯形轉化為平行四邊形和三角形，然后再利用這些熟悉的知識即可證得 。

　　證明：過 點作 分別交 、 于點 、 ，得 和 ，如圖。

　　∴

　　∵ ，

　　∴

　　又∵ ， ，

　　∴

　　∴

　　為使學生對定理加深理解和掌握，把知識學活，可讓學生認識幾種定理的變式圖形，如圖（用計算機動態演示）。

　　引導學生觀察下圖，在梯形 中， ， ，則可得到 ，由此得出推論 1。

　　推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰。

　　再引導學生觀察下圖，在 中， ， ，則可得到 ，由此得出推論2。

　　推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

　　注意：推論1和推論2也都是很重要的定理，在今后的論證和計算中經常用到，因此，要求學生必須掌握好。

　　接下來講如何利用平行線等分線段定理來任意等分一條線段。

　　例 已知：如圖，線段 。

　　求作：線段 的五等分點。

　　作法：①作射線 。

　�、谠谏渚� 上以任意長順次截取 。

　�、圻B結 。

　�、苓^點 。 、 、 分別作 的平行線 、 、 、 ，分別交 于點 、 、 、 。

　　、 、 、 就是所求的五等分點。

　�。ㄕf明略，由學生口述即可）

　　【總結、擴展】

　　小結：

　�。╨）平行線等分線段定理及推論。

　　（2）定理的證明只取三條平行線，是在較簡單的情況下證明的，對于多于三條的平行線的情況，也可用同樣方法證明。

　�。�3）定理中的“平行線組”，是指每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組。

　�。�4）應用定理任意等分一條線段。

　　八、布置作業

　　教材P188中A組2、9

　　九、板書設計

　　十、隨堂練習

　　教材P182中1、2

數學定理的教案4

　　一、教學目標

　　1．使學生在理解的基礎上掌握平行線分線段成比例定理及其推論，并會靈活應用.

　　2．使學生掌握三角形一邊平行線的判定定理.

　　3．已知線的成已知比的作圖問題.

　　4．通過應用，培養識圖能力和推理論證能力.

　　5．通過定理的教學，進一步培養學生類比的數學思想.

　　二、教學設計

　　觀察、猜想、歸納、講解

　　三、重點、難點

　　l．教學重點：是平行線分線段成比例定理和推論及其應用．

　　2．教學難點：是平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應用．

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、常用畫圖工具．

　　六、教學步驟

　　【復習提問】

　　敘述平行線分線段成比例定理（要求：結合圖形，做出六個比例式）.

　　【講解新課】

　　在黑板上畫出圖，觀察其特點： 與 的交點A在直線 上，根據平行線分線段成比例定理有： ……（六個比例式）然后把圖中有關線擦掉，剩下如圖所示，這樣即可得到：

　　平行于 的邊BC的直線DE截AB、AC，所得對應線段成比例．

　　在黑板上畫出左圖，觀察其特點： 與 的交點A在直線 上，同樣可得出： （六個比例式），然后擦掉圖中有關線，得到右圖，這樣即可證到：

　　平行于 的邊BC的直線DE截邊BA、CA的延長線，所以對應線段成比例．

　　綜上所述，可以得到：

　　推論：（三角形一邊平行線的性質定理）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．

　　如圖， （六個比例式）．

　　此推論是判定三角形相似的基礎．

　　注：關于推論中“或兩邊的延長線”，是指三角形兩邊在第三邊同一側的延長線，如果已知 ，DE是截線，這個推論包含了下圖的各種情況．

　　這個推論不包含下圖的情況．

　　后者，教學中如學生不提起，可不必向學生交待．（考慮改用投影儀或小黑板）

　　例3 已知：如圖， ，求：AE．

　　教材上采用了先求CE再求AE的方法，建議在列比例式時，把CE寫成比例第一項，即： .

　　讓學生思考，是否可直接未出AE（找學生板演）．

　　【小結】

　　1．知道推論的探索方法．

　　2．重點是推論的正確運用

　　七、布置作業

　�。�1）教材P215中2．

　�。�2）選作教材P222中B組1．

　　八、板書設計

　　數學教案－平行線分線段成比例定理 （第二課時）

數學定理的教案5

　一、利用勾股定理進行計算

　　1.求面積

　　例1:如圖1,在等腰△ABC中,腰長AB=10cm,底BC=16cm,試求這個三角形面積。

　　析解:若能求出這個等腰三角形底邊上的高,就可以求出這個三角形面積。而由等腰三角形"三線合一"性質,可聯想作底邊上的高AD,此時D也為底邊的中點,這樣在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以這個三角形面積為×BC×AD=×16×6=48cm2。

　　2.求邊長

　　例2:如圖2,在△ABC中,∠C=135?,BC=,AC=2,試求AB的長。

　　析解:題中沒有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考慮過點B作BD⊥AC,交AC的延長線于D點,構成Rt△CBD和Rt△ABD。在Rt△CBD中,因為∠ACB=135?,所以∠BCB=45?,所以BD=CD,由BC=,根據勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD=AC+CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=32+12=10,所以AB=。

　　點評:這兩道題有一個共同的特征,都沒有現成的直角三角形,都是通過添加適當的輔助線,巧妙構造直角三角形,借助勾股定理來解決問題的,這種解決問題的方法里蘊含著數學中很重要的轉化思想,請同學們要留心。

　　二、利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形

　　例3:已知a,b,c為△ABC的三邊長,且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷△ABC的形狀。

　　析解:由于所給條件是關于a,b,c的一個等式,要判斷△ABC的形狀,設法求出式中的a,b,c的值或找出它們之間的關系(相等與否)等,因此考慮利用因式分解將所給式子進行變形。因為a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,所以(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0。因為(a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因為52+122=132,所以a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形。

　　點評:用代數方法來研究幾何問題是勾股定理的逆定理的"數形結合思想"的重要體現。

　　三、利用勾股定理說明線段平方和、差之間的關系

　　例4:如圖3,在△ABC中,∠C=90?,D是AC的中點,DE⊥AB于E點,試說明:BC2=BE2-AE2。

　　析解:由于要說明的是線段平方差問題,故可考慮利用勾股定理,注意到∠C=∠BED=∠AED=90?及CD=AD,可連結BD來解決。因為∠C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DE⊥AB,所以∠BED=∠AED=90?,在Rt△BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中,有AD2=DE2+AE2。又D是AC的中點,所以AD=CD。故BC2+CD2=BC2+AD2=BC2+DE2+AE2=BE2+DE2,所以BE2=BC2+AE2,所以BC2=BE2-AE2。

　　點評:若所給題目的已知或結論中含有線段的平方和或平方差關系時,則可考慮構造直角三角形,利用勾股定理來解決問題。

數學定理的教案6

　　一、學生知識狀況分析

　　學生技能基礎：學生在以前的幾何學習中，已經學習過平行線的判定定理與平行線的性質定理以及它們的嚴格證明，也熟悉三角形內角和定理的內容，而本節課是建立在學生掌握了平行線的性質及嚴格的證明等知識的基礎上展開的，因此，學生具有良好的基礎。

　　活動經驗基礎： 本節課主要采取的 活動形式是學生非常熟悉的自主探究與合作交流的學習方式，學生具有較熟悉的活動經驗.

　　二、教學任務分析

　　上一節課的學習中，學生對于平行線的判定定理和性質定理以及與平行線相關的簡單幾何證明是比較熟悉的，他們已經具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節課安排《三角形內角和定理的證明》旨在利用平行線的相關知識來推導出新的定理以及靈活運用新的定理解決相關問題。為此，本節課的教學目標是：

　　知識與技能：(1)掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。

　　(2)靈活運用三角形內角和定理解決相關問題。

　　數學能力：用多種方法證明三角形定理，培養一題多解的能力。

　　情感與態度：對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化 的理性作用.

　　三、教學過程分析

　　本節課的設計分為四個環節：情境引入探索新知反饋練習課堂小結

　　第一環節：情境引入

　　活動內容：(1)用折紙的方法驗證三角形內角和定理.

　　實驗1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行(圖6-38(1))然后把另外兩角相向對折，使其頂點與已折角的頂點相嵌合(圖(2)、(3))，最后得圖(4)所示的結果

　　(1) (2) (3) (4)

　　試用自己的語言說明這一結論的證明思路。想一想，還有其它折法嗎?

　　(2)實驗2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。

　　試用自己的語言說明這一結論的證明思路。想一想，如果只剪下一個角呢?

　　活動目的：

　　對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。將自己的操作轉化為符號語言對于學生來說還存在一定困難，因此需要一個臺階，使學生逐步過渡到嚴格的證明.

　　教學效果：

　　說理過程是學生所熟悉的，因此，學生能比較熟練地說出用撕紙的方法可以驗證三角形內角和定理的原因。

　　第二環節：探索新知

　　活動內容：

　�、� 用嚴謹的證明來論證三角形內 角和定理.

　�、� 看哪個同學想的方法最多?

　　方法一：過A點作DE∥BC

　　∵DE∥BC

　　DAB=B，EAC=C(兩直線平行，內錯角相等)

　　∵DAB+BAC+EAC=180

　　BAC+ C=180(等量代換)

　　方法二：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA.

　　∵CE∥BA

　　ECD(兩直線平行，同位角相等)

　　ACE(兩直線平行，內錯角相等)

　　∵BCA+ACE+ECD=180

　　B+ACB=180(等量代換)

　　活動目的：

　　用平行線的判定定理及性質定理來推導出新的定理，讓學生再次體會幾何證明的嚴密性和數學的嚴謹，培養 學生的邏輯推理能力。

　　教學效果：

　　添輔助線不是盲目的，而是為了證明某一結論，需要引用某個定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔助線創造條件，以達到 證明的目的.

　　第三環節：反饋練習

　　活動內容：

　　(1)△ABC中可以有3個銳角嗎? 3個直角呢? 2個直角呢?若有1個直角另外兩角有什么特點?

　　(2)△ABC中 ，C=90，A=30，B=?

　　(3)A=50，C，則△ABC中B=?

　　(4)三角形的三個內角中，只能有____個直角或____個鈍角.

　　(5)任何一個三角形中，至少有____個銳角;至多有____個銳角.

　　(6)三角形中三角之比 為1∶2∶3，則三個角各為多少度?

　　(7)已知：△ABC中，B=2A。

　　(a)求B的度數;

　　(b)若BD是AC邊上的高，求 DBC的度數?

　　活動目的：

　　通過學生的 反饋練習，使教師能全面了解學生對三角形內角和定理的概念是否清楚，能否靈活運用三角形內角和定理，以便教師能及時地進行查缺補漏.

　　教學效果：

　　學生對于三角形內角和定理的掌握是非常熟練，因此，學生能較好地解決與三角形內角和定理相關的問題。

　　第四環節：課堂小結

　　活動內容：

　�、� 證明三角形內角和定理有哪幾種方法?

　　② 輔助線的作法技巧.

　　③ 三 角形內角和定理的簡單應用.

　　活動目的：

　　復習鞏固本課知識，提高學生的掌握程度.

　　教學效果：

　　學生對于三角形內角和定理的幾種不同的證明方法的理解比較深刻，并能熟練運用三角形內角和定理進行相關證明.

　　課后練習：課本第239頁隨堂練習;第241頁習題6.6第1，2，3題

　　四、教學反思

　　三角形的有關知識是空間與圖形中最為核心、最為重要的內容，它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且幾乎是研究所有其它圖形的工具和基礎.而三角形內角和定理又是三角形中最為基礎的知識，也是學生最為熟悉且能與小學、中學知識相關聯的知識，看似簡單，但如果處理不好，會導致學生有厭煩心理，為此，本節課的設計力圖實現以下特點：

　　(1) 通過折紙與剪紙等操作讓學生獲得直接經驗，然后從學生的直接經驗出發，逐步轉到符號化處理，最后達到推理論證的要求。

　　(2) 充分展示學生的個性，體現學生是學習的主人這一主題。

　　(3) 添加輔助線是教學中的一個難點， 如何添加輔助線則應允許學生展開思考并爭論，展示學生的思維過程，然后在老師的引導下達成共識。

數學定理的教案7

　　一、教學目標

　　【知識與技能】

　　理解并掌握勾股定理的逆定理，會應用定理判定直角三角形;理解勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系;理解原命題和逆命題的概念，知道二者的關系及二者真假性的關系。

　　【過程與方法】

　　經歷得出猜想、推理證明的過程，提升自主探究、分析問題、解決問題的能力。

　　【情感、態度與價值觀】

　　體會事物之間的聯系，感受幾何的魅力。

　　二、教學重難點

　　【重點】勾股定理的逆定理及其證明。

　　【難點】勾股定理的逆定理的證明。

　　三、教學過程

　　(一)導入新課

　　復習勾股定理，分清其題設和結論。

　　提問學生畫直角三角形的方法(可用尺類工具)，然后要求不能用繩子以外的工具。

　　出示古埃及人利用等長的3、4、5個繩結間距畫直角三角形的方法，以其中蘊含何道理為切入點引出課題。

　　(二)講解新知

　　請學生思考3，4，5之間的關系，結合勾股定理的學習經驗明確

　　出示數據2.5cm，6cm，6.5cm，請學生計算驗證數據滿足上述平方和關系，并畫出相應邊長的三角形檢驗是否為直角三角形。

　　學生活動：同桌兩人一組，將三邊換成其他滿足上述平方和關系的數據，如4cm，7.5cm，8.5cm，畫出相應邊長的三角形檢驗是否為直角三角形。

數學定理的教案8

　　課題：

　　勾股定理

　　課型：

　　新授課

　　課時安排：

　　1課時

　　教學目的：

　　一、知識與技能目標理解和掌握勾股定理的內容，能夠靈活運用勾股定理進行計算，并解決一些簡單的實際問題。

　　二、過程與方法目標通過觀察分析，大膽猜想，并探索勾股定理，培養學生動手操作、合作交流、邏輯推理的能力。

　　三、情感、態度與價值觀目標了解中國古代的數學成就，激發學生愛國熱情；學生通過自己的努力探索出結論獲得成就感，培養探索熱情和鉆研精神；同時體驗數學的美感，從而了解數學，喜歡幾何。

　　教學重點：

　　引導學生經歷探索及驗證勾股定理的過程，并能運用勾股定理解決一些簡單的實際問題

　　教學難點：

　　用面積法方法證明勾股定理

　　課前準備：

　　多媒體ppt，相關圖片

　　教學過程：

　�。ㄒ唬┣榫硨�入

　　1、多媒體課件放映圖片欣賞：勾股定理數形圖，1955年希臘發行的一枚紀念郵票，美麗的勾股樹，20xx年國際數學大會會標等。通過圖形欣賞，感受數學之美，感受勾股定理的文化價值。

　　2、多媒體課件演示flash小動畫片：某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊員取來6.5米長的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請問消防隊員能否進入三樓滅火？已知一直角三角形的兩邊，如何求第三邊？學習了今天的這節課后，同學們就會有辦法解決了。

　　（二）學習新課問題一是等腰直角三角形的情形（通過多媒體給出圖形），判斷外圍三個正方形面積有何關系？相傳2500年前，畢達哥拉斯（古希臘著名的哲學家、數學家、天文學家）有一次在朋友家做客時，發現朋友家里用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數量關系。你能觀察圖中的地面，看看能發現什么？對于等腰直角三角形有這樣的性質：兩直邊的平方和等于斜邊的平方那么對于一般的直角三角形是否也有這樣的性質呢？請大家畫一個任意的直角三角形，量一量，算一算。問題二是一般直角三角形的情形，判斷這時外圍三個正方形的面積是否也存在這種關系？通過這個觀察和驗算這個直角三角形外圍的三個正方形面積之間的關系，同學們發現了什么規律嗎？通過前面對兩個問題的驗證，可以得到勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。

　�。ㄈ�）鞏固練習1、如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6厘米和8厘米，那么這個三角形的周長是多少厘米？2、解決課程開始時提出的情境問題。

　　（四）小結

　　1、背景知識介紹①《周髀算徑》中，西周的商高在公元一千多年前發現了“勾三股四弦五”這一規律；②康熙數學專著《勾股圖解》有五種求解直角三角形的方法，積求勾股法是他的獨創。

　　2、通過這節課的學習，你會寫方程了嗎？你有什么收獲和體會？

　�。ㄎ澹┳鳂I練習18.1中的1、2、3題。板書設計：勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。

數學定理的教案9

　　教學目標

　　1、知識與技能目標

　　學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養學生的空間觀念．

　　2、過程與方法

　　(1)經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力．

　　(2)在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想．

　　3、情感態度與價值觀

　　(1)通過有趣的問題提高學習數學的`興趣．

　　(2)在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性．

　　教學重點：

探索、發現事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題．

　　教學難點：

利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題．

　　教學準備：

多媒體

　　教學過程：

　　第一環節：創設情境，引入新課（3分鐘，學生觀察、猜想）

　　情景：

　　如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

　　第二環節：合作探究（15分鐘，學生分組合作探究）

　　學生分為４人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。讓學生發現：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數學解決實際問題的方法：建立數學模型，構圖，計算．

　　學生匯總了四種方案：

　�。ǎ保� （２） （3）（4）

　　學生很容易算出：情形（１）中A→B的路線長為：AA’+d，情形（２）中A→B的路線長為：AA’+πd／2所以情形（１）的路線比情形（２）要短．

　　學生在情形（３）和（４）的比較中出現困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，前三種情形A→B是折線，而情形（４）是線段，故根據兩點之間線段最短可判斷（４）最短．

　　如圖：

　�。ǎ保┲蠥→B的路線長為：AA’+d;

　�。ǎ玻┲蠥→B的路線長為：AA’+A’B>AB;

　　（３）中A→B的路線長為：AO+OB>AB;

　�。ǎ矗┲蠥→B的路線長為：AB.

　　得出結論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題．在這個環節中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．接下來后提問：怎樣計算AB？

　　在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12c，底面半徑為3c，π取3，則.

　　第三環節：做一做（7分鐘，學生合作探究）

　　教材23頁

　　李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，

　�。�1）你能替他想辦法完成任務嗎？

　�。�2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

　　（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

　　第四環節：鞏固練習（10分鐘，學生獨立完成）

　　1．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發，他以6/h的速度向正東行走，1小時后乙出發，他以5/h的速度向正北行走．上午10：00，　甲、乙兩人相距多遠？

　　2．如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．

　　3．有一個高為1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5米，問這根鐵棒有多長？

　　第五環節 課堂小結（3分鐘，師生問答）

　　內容：

　　1、如何利用勾股定理及逆定理解決最短路程問題？

　　第六 環節：布置作業（2分鐘，學生分別記錄）

　　內容：

　　作業：1．課本習題1．5第1，2，3題．

　　要求：A組（學優生）：1、2、3

　　B組（中等生）：1、2

　　C組（后三分之一生）：1

　　板書設計：

　　教學反思：

數學定理的教案10

　　教學目標

　　知識與技能：

　　了解勾股定理的一些證明方法，會簡單應用勾股定理解決問題

　　過程與方法：

　　在充分觀察、歸納、猜想的基礎上，探究勾股定理，在探究的過程中，發展合情推理，體會數形結合、從特殊到一般等數學思想。

　　情感態度價值觀：

　　通過對我國古代研究勾股定理的成就介紹，培養學生的民族自豪感。

　　教學過程

　　1、創設情境

　　問題1國際數學家大會是最高水平的全球性數學學科學術會議，被譽為數學界的“奧運會”。2002年在北京召開了第24屆國際數學家大會。下圖就是大會會徽的圖案。你見過這個圖案嗎？它由哪些我們學習過的基本圖形組成？這個圖案有什么特別的含義？

　　師生活動：教師引導學生尋找圖形中的直角三角形和正方形等，并引導學生發現直角三角形的全等關系，指出通過今天的學習，就能理解會徽圖案的含義。

　　設計意圖：本節課是本章的起始課，重視引言教學，從國際數學家大會的會徽說起，設置懸念，引入課題。

　　2、探究勾股定理

　　觀看洋蔥數學中關于勾股定理引入的視頻，讓我們一起走進神奇的數學世界

　　問題2相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時，發現朋友家用轉鋪成的地面圖案反應了直角三角形三邊的某種數量關系，請你觀察下圖，你從中發現了什么數量關系？

　　師生活動：學生先獨立觀察思考一分鐘后，小組交流合作分析圖形中兩個藍色正方形與橙色正方形有哪些數量關系，教師參與學生的討論

　　追問：由這三個正方形的邊長構成的等腰直角三角形三條邊長之間又有怎么樣的關系？

　　師生活動：教師引導學生發現正方形的面積等于邊長的平方，歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

　　設計意圖：從最特殊的等腰直角三角形入手，便于學生觀察得到結論

　　問題3：數學研究遵循從特殊到一般的數學思想，既然我們得到了等腰直角三角形三邊的這種特殊的數量關系，那我們不妨大膽猜測在一般的直角三角形（在下圖的方格紙中，每個方格的面積是1）中，這種特殊的數量關系也同樣成立。

　　師生活動：學生獨立思考后小組討論，難點是如何證明求以斜邊為邊長的正方形的面積，可由師生共同總結得出可以通過割、補兩種方法，求出其面積。

數學定理的教案11

　　一、教學目標

　　1、靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題、

　　2、進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識、

　　二、重點、難點

　　1、重點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題、

　　2、難點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題、

　　3、難點的突破方法：

　　三、課堂引入

　　創設情境：在軍事和航海上經常要確定方向和位置，從而使用一些數學知識和數學方法、

　　四、例習題分析

　　例1（p83例2）

　　分析：⑴了解方位角，及方位名詞；

　　⑵依題意畫出圖形；

　�、且李}意可得pr=12×1。5=18，pq=16×1。5=24，qr=30；

　　⑷因為242+182=302，pq2+pr2=qr2，根據勾股定理的逆定理，知∠qpr=90°；

　　⑸∠prs=∠qpr—∠qps=45°、

　　小結：讓學生養成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識、

　　例2（補充）一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀、

　　分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長；

　�、圃O未知數列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；

　�、歉鶕�勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形

　　本題幫助培養學生利用方程思想解決問題，進一步養成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識

數學定理的教案12

　　[教學分析]

　　勾股定理是揭示三角形三條邊數量關系的一條非常重要的性質，也是幾何中最重要的定理之一。它是解直角三角形的主要依據之一，同時在實際生活中具有廣泛的用途，“數學源于生活，又用于生活”正是這章書所體現的主要思想。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和分析問題的能力，通過實際操作，使學生獲得較為直觀的印象；通過聯系比較、探索、歸納，幫助學生理解勾股定理，以利于進行正確的應用。

　　本節教科書從畢達哥拉斯觀察地面發現勾股定理的傳說談起，讓學生通過觀察計算一些以直角三角形兩條直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的正方形的面積的關系，發現兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積，從而發現勾股定理，這時教科書以命題的形式呈現了勾股定理。關于勾股定理的證明方法有很多，教科書正文中介紹了我國古人趙爽的證法。之后，通過三個探究欄目，研究了勾股定理在解決實際問題和解決數學問題中的應用，使學生對勾股定理的作用有一定的認識。

　　[教學目標]

　　一、知識與技能

　　1、探索直角三角形三邊關系，掌握勾股定理，發展幾何思維。

　　2、應用勾股定理解決簡單的實際問題

　　3學會簡單的合情推理與數學說理

　　二、過程與方法

　　引入兩段中西關于勾股定理的史料，激發同學們的興趣，引發同學們的思考。通過動手操作探索與發現直角三角形三邊關系，經歷小組協作與討論，進一步發展合作交流能力和數學表達能力，并感受勾股定理的應用知識。

　　三、情感與態度目標

　　通過對勾股定理歷史的了解，感受數學文化，激發學習興趣；在探究活動中，學生親自動手對勾股定理進行探索與驗證,培養學生的合作交流意識和探索精神，以及自主學習的能力。

　　四、重點與難點

　　1、探索和證明勾股定理

　　2、熟練運用勾股定理

　　[教學過程]

　　一、創設情景，揭示課題

　　1、教師展示圖片并介紹第一情景

　　以中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭為引，介紹周公向商高請教數學知識時的對話，為勾股定理的出現埋下伏筆。

　　周公問：“竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度.夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”商高答：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤.得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所由生也�！�

　　2、教師展示圖片并介紹第二情景

　　畢達哥拉斯是古希臘著名的數學家。相傳在2500年以前，他在朋友家做客時，發現朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的某種特性。

　　二、師生協作，探究問題

　　1、現在請你也動手數一下格子，你能有什么發現嗎？

　　2、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有這樣的特點呢？

　　3、你能得到什么結論嗎？

　　三、得出命題

　　勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。解釋：由于我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的邊稱為股，斜邊稱為弦，所以，把它叫做勾股定理。

　　四、勾股定理的證明

　　趙爽弦圖的證法（圖2）

　　第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

　　第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為的

　　角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。

　　因為邊長為的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

　　這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

　　五、應用舉例，拓展訓練，鞏固反饋。

　　勾股定理的靈活運用勾股定理在實際的生產生活當中有著廣泛的應用。勾股定理的發現和使用解決了許多生活中的問題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你可以嗎？試一試。

　　例題：小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機，小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有58厘長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？

　　六、歸納總結

　　1、內容總結：探索直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，利于勾股定理，解決實際問題

　　2、方法歸納：數方格看圖找關系，利用面積不變的方法。用直角三角形三邊表示正方形的面積觀察歸納注意畫一個直角三角形表示正方形面積，再次驗證自己的發現。

　　七、討論交流

　　讓學生發表自己的意見，提出他們模糊不清的概念，給他們一個梳理知識的機會，通過提示性的引導，讓學生對勾股定理的概念豁然開朗，為后面勾股定理的應用打下基礎。

　　我們班的同學很聰明。大家很快就通過數格子發現了勾股定理的規律。還有什么地方不懂的嗎？跟大家一起來交流一下。請同學們課后在反思天地中都發表一下自己的學習心得。

數學定理的教案13

　　一、教學目標

　　1．體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理．

　　2．探究勾股定理的逆定理的證明方法．

　　3．理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關系．

　　二、重點、難點

　　1．重點：掌握勾股定理的逆定理及證明．

　　2．難點：勾股定理的逆定理的證明．

　　3．難點的突破方法：

　　先讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發學生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法．充分利用這道題鍛煉學生的動手操作能力，由實踐到理論學生更容易接受．

　　為學生搭好臺階，掃清障礙．

　�、湃绾闻袛嘁粋�三角形是直角三角形，現在只知道若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉化為如何判斷一個角是直角．

　　⑵利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決．

　�、窍茸鲋苯牵�再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1=c，則通過三邊對應相等的兩個三角形全等可證．

　　三、課堂引入

　　創設情境：⑴怎樣判定一個三角形是等腰三角形？

　�、圃鯓优卸ㄒ粋�三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進行對比，從勾股定理的逆命題進行猜想．

　　四、例習題分析

　　例1（補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

　　⑴同旁內角互補，兩條直線平行．

　�、迫绻麅蓚�實數的平方相等，那么兩個實數平方相等．

　�、蔷�段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．

　　⑷直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

　　分析：⑴每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結論調換即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用．

　�、评眄標麄冎�間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假．

　　解略．

　　本題意圖在于使學生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關系．

　　例2（P82探究）證明：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．

　　分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據題意畫出圖形，然后寫已知求證．

　�、迫绾闻袛嘁粋�三角形是直角三角形，現在只知道若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉化為如何判斷一個角是直角．

　　⑶利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決．

　�、认茸鲋苯牵�再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1=c，則通過三邊對應相等的兩個三角形全等可證．

　�、上茸寣W生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發學生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法．充分利用這道題鍛煉學生的動手操作能力，由實踐到理論學生更容易接受．

　　證明略．

　　通過讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發學生的興趣和求知欲，鍛煉學生的動手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實踐上升到理論，提高學生的理性思維．

　　例3（補充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

　　求證：∠C=90°．

　　分析：⑴運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊最大．②分別用代數方法計算出a2+b2和c2的值．③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．

　�、埔�證∠C=90°，只要證△ABC是直角三角形，并且c邊最大．根據勾股定理的逆定理只要證明a2+b2=c2即可．

　�、怯捎赼2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，從而a2+b2=c2，故命題獲證．

　　本題目的在于使學生明確運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊最大．②分別用代數方法計算出a2+b2和c2的值．③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．

數學定理的教案14

　　重點、難點分析

　　本節內容的重點是勾股定理的逆定理及其應用．它可用邊的關系判斷一個三角形是否為直角三角形．為判斷三角形的形狀提供了一個有力的依據．

　　本節內容的難點是勾股定理的逆定理的應用．在用勾股定理的逆定理時，分不清哪一條邊作斜邊，因此在用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時而出錯；另外，在解決有關綜合問題時，要將給的邊的數量關系經過代數變化，最后達到一個目標式，這種“轉化”對學生來講也是一個困難的地方．

　　教法建議：

　　本節課教學模式主要采用“互動式”教學模式及“類比”的教學方法．通過前面所學的垂直平分線定理及其逆定理，做類比對象，讓學生自己提出問題并解決問題．在課堂教學中營造輕松、活潑的課堂氣氛．通過師生互動、生生互動、學生與教材之間的互動，造成“情意共鳴，溝通信息，反饋流暢，思維活躍”，達到培養學生思維能力的目的．具體說明如下：

　　（1）讓學生主動提出問題

　　利用類比的學習方法，由學生將上節課所學習的勾股定理的逆命題書寫出來．這里分別找學生口述文字；用符號、圖形的形式板書逆命題的內容．所有這些都由學生自己完成，估計學生不會感到困難．這樣設計主要是培養學生善于提出問題的習慣及能力．

　　（2）讓學生自己解決問題

　　判斷上述逆命題是否為真命題？對這一問題的解決，學生會感到有些困難，這里教師可做適當的點撥，但要盡可能的讓學生的發現和探索，找到解決問題的思路．

　�。�3）通過實際問題的解決，培養學生的數學意識．

　　教學目標：

　　1、知識目標：

　�。�1）理解并會證明勾股定理的逆定理；

　　（2）會應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形；

　�。�3）知道什么叫勾股數，記住一些覺見的勾股數.

　　2、能力目標：

　�。�1）通過勾股定理與其逆定理的比較，提高學生的辨析能力；

　�。�2）通過勾股定理及以前的知識聯合起來綜合運用，提高綜合運用知識的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　�。�2）通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征．

　　教學重點：勾股定理的逆定理及其應用

　　教學難點：勾股定理的逆定理及其應用

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：以學生為主體的討論探索法

　　教學過程：

　　1、新課背景知識復習（投影）

　　勾股定理的內容

　　文字敘述（投影顯示）

　　符號表述

　　圖形（畫在黑板上）

　　2、逆定理的獲得

　�。�1）讓學生用文字語言將上述定理的逆命題表述出來

　�。�2）學生自己證明

　　逆定理：如果三角形的三邊長 有下面關系：

　　那么這個三角形是直角三角形

　　強調說明：（1）勾股定理及其逆定理的區別

　　勾股定理是直角三角形的性質定理，逆定理是直角三角形的判定定理．

　�。�2）判定直角三角形的方法：

　�、俳菫� 、②垂直、③勾股定理的逆定理

　　2、 定理的應用（投影顯示題目上）

　　例1 如果一個三角形的三邊長分別為

　　則這三角形是直角三角形

　　例2 如圖，已知：CD⊥AB于D，且有

　　求證：△ACB為直角三角形。

　　以上例題，分別由學生先思考，然后回答．師生共同補充完善．（教師做總結）

　　4、課堂小結：

　�。�1）逆定理應用時易出現的錯誤：分不清哪一條邊作斜邊（最大邊）

　�。�2）判定是否為直角三角形的一種方法：結合勾股定理和代數式、方程綜合運用。

　　5、布置作業：

　　a、書面作業P131＃9

　　b、上交作業：已知：如圖，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF邊上的中線DG＝8

　　求證：△DEF是等腰三角形

數學定理的教案15

　　高中數學正弦定理教案，一起拉看看吧。

　　本節內容是正弦定理教學的第一節課，其主要任務是引入并證明正弦定理．做好正弦定理的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力．

　　本節課以及后面的解三角形中涉及到計算器的使用與近似計算，這是一種基本運算能力，學生基本上已經掌握了．若在解題中出現了錯誤，則應及時糾正，若沒出現問題就順其自然，不必花費過多的時間．

　　本節可結合課件“正弦定理猜想與驗證”學習正弦定理．

　　三維目標

　　1．通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法，會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

　　2．通過正弦定理的探究學習，培養學生探索數學規律的思維能力，培養學生用數學的方法去解決實際問題的能力．通過學生的積極參與和親身實踐，并成功解決實際問題，激發學生對數學學習的熱情，培養學生獨立思考和勇于探索的創新精神．

　　重點難點

　　教學重點：正弦定理的證明及其基本運用．

　　教學難點：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，判斷解的個數．

　　課時安排

　　1課時

　　教學過程

　　導入新課

　　思路1.(特例引入)教師可先通過直角三角形的特殊性質引導學生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的邊角關系，若∠C為直角，則有a＝csinA，b＝csinB，這兩個等式間存在關系嗎？學生可以得到asinA＝bsinB，進一步提問，等式能否與邊c和∠C建立聯系？從而展開正弦定理的探究．

　　思路2.(情境導入)如圖，某農場為了及時發現火情，在林場中設立了兩個觀測點A和B，某日兩個觀測點的林場人員分別測到C處有火情發生．在A處測到火情在北偏西40°方向，而在B處測到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處．現在要確定火場C距A、B多遠？將此問題轉化為數學問題，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC與BC的長．”這就是一個解三角形的問題．為此我們需要學習一些解三角形的必要知識，今天要探究的是解三角形的第一個重要定理——正弦定理，由此展開新課的探究學習．

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　1閱讀本章引言，明確本章將學習哪些內容及本章將要解決哪些問題？

　　2聯想學習過的三角函數中的邊角關系，能否得到直角三 角形中角與它所對的邊之間在數量上有什么關系？

　　3由2得到的數量關系式，對一般三角形是否仍然成立？

　　4正弦定理的內容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？

　　5什么叫做解三角形？

　　6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？

　　活動：教師引導學生閱讀本章引言，點出本章數學知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學生初步認識到學習解三角形知識的必要性．如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂的海拔高度？這些實際問題的解決需要我們進一步學習任意三角形中邊與角關系的有關知識．讓學生明確本章將要學習正弦定理和余弦定理，并學習應用這兩個定理解三角形及解決測量中的一些問題．

　　關于任意三角形中大邊對大角、小 邊對小角的邊角關系，教師引導學生探究其數量關系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在Rt△ABC中，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，則asinA＝bsinB＝csinC＝c.從而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.

　　那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？教師引導學生畫圖討論分析．

　　如下圖，當△ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角的三角函數的定義，有CD＝asinB＝bsinA，則asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.從而asinA＝bsinB＝csinC.

　　(當△ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學生自己完成)

　　通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立．教師點出這就是今天要學習的三角形中的重要定理——正弦定理．

　　正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

　　asinA＝bsinB＝csinC

　　上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進行證明．教師提醒學生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時點撥學生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對應角的正弦之間的一個關系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系；描述了任意三角形中大邊對大角的一種準確的數量關系．因為如果∠A＜∠B，由三角形性質，得a＜b.當∠A、∠B都是銳角，由正弦函數在區間(0，π2)上的單調性，可知sinA＜sinB.當∠A是銳角，∠B是鈍角時，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數在區間(π2，π)上的單調性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.

　　正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵學生課下進一步探究正弦定理的其他證明方法．

　　討論結果：

　　(1)～(4)略．

　　(5)已知三角形的幾個元素(把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形．

　　(6)應用正弦定理可解決兩類解三角形問題：①已知三角形的任意兩個角與一邊，由三角形內角和定理，可以計算出三角形的另一角，并由正弦定理計算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”．這類問題的解是唯一的．②已知三 角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可以計算出另一邊的對角的正弦值，進而確定這個角和三角形其他的邊和 角，即“兩邊一對角問題”．這類問題的答案有時不是唯一的，需根據實際情況分類討論．

　　應用示例

　　例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．

　　活動：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解∠C，b，c.

　　此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題，直接應用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．

　　解：根據三角形內角和定理，得

　　∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.

　　根據正弦定理，得

　　b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；

　　c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．

　　點評：(1)此類問題結果為唯一解，學生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內角和定理180°求出第三個角，再利用正弦定理．

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