二、分析數之間的規律
在上一講的內容里，我們向同學們介紹了如何觀察與分析圖形之間的變化規律，
在這一講中，主要介紹如何分析數之間的變化規律。
例 1 觀察分析下面各列數的變化規律，然后填空。
（1）5，9，13，17，（ ）；
（2）10，12，16，22，（ ）；
（3）1，4，9，16，（ ）；
（4）2，4，8，16，（ ）；
8
（5）4，5，7，11，19，（ ）。
分析與解 分析一列數的變化規律，一般是順序對這列數中相鄰的幾個數進行相同的四
則運算，根據計算結果進行比較，從中找到規律。
（1）依次用后一個數減去相鄰的前一個數，差都是 4，所以應填 21；
（2）依次用后一個數減去相鄰的前一個數，它們的差依次為：2，4，6，那么下
一個差便應該是 8，所以應填 30；
（3）由于 1＝1×1，4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4，所以下一個數應為 5×5，填
25；
（4）因為 2＝2，4＝2×2，8＝2×2×2，16＝2×2×2×2，因此下一個數應為 5
個 2 相乘，填 32。也可以這樣分析：從第二個數開始，每個數都是相鄰前面數的 2 倍，
所以空白處填 16×2＝32。
（5）由于 5－4＝1，7－5＝2，11－7＝4，19－11＝8，觀察 1，2，4，8 這列數，
一個數的 2 倍便是它后面的數，所以 8 后面應是 16，而 19＋16＝35，所以應填 35。
對于一列數的變化規律的分析，經常是對這列數進行某種運算，然后依次將運算
結果寫下來，組成新的一列數，轉而考察新的這列數的變化規律，從而得出原來那列
數的變化規律。
例 2 觀察下面各數列的變化規律，然后進行填空：
（1）7，14，10，12，14，9，19，5，______，______；
9
（2）7，8，10，______，22，38；
（3）5，14，41，122，______；
（4）1，2，3，5，8，13，21，______；
（5）1，2，2，4，8，32，______。
分析與解 （1）表面上看這列數規律不明顯，那是因為我們的眼光只局限于“相鄰的
兩個數”之間，僅對這兩個數依次進行計算、比較結果。現在我們隔著看，將這列數
分成兩列數，即
7，10，14，19，______；
14，12，9，5______。
第一列數 7，10，14，19，它們相鄰兩數之差依次為 3，4，5，所以下一個數應為：
19＋6＝25；而第二列數 14，12，9，5，相鄰兩個數的差（大數減小數）依次為 2，3，
4，所以第二列數中下一個數應為：5－5＝0。
因此，兩個空格中的數依次為 25、0；
（2）“空項”出現在一列數的中間比出現在這列數的最后分析規律要困難一些，
因為這列數在“空項”處斷開，則我們分析這列數的變化規律時，往往也在此斷開，
不易往下進行。解這類題的步驟一般是將“空項”兩邊的幾個數的規律先各自找出來，
然后再在“空項”處試驗填數，看看此數填進去后，能否使前后兩邊數的規律統一起
來。
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在這列數中，前面三個數中相鄰的兩數之差為 1，2，后面的兩數之差為 16，如果
插進去一個數，將會又產生兩個差，即 1，2，______，______，16，不難看出這兩個
空分別填 4，8，就使差所構成的這列數 1，2，4，8，16 規律統一，而 10＋4＝14，14
＋8＝22，所以應填 14；
（3）觀察相鄰兩數，發現 5×3－1＝14，14×3－1＝41，41×3－1＝122，也就
是說前一個數的 3 倍比后一個數多 1。所以應填 365；
（4）前面兩個數之和等于相鄰后面的數，如 1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8
＝13，8＋13＝21，所以應填 34；
（5）前面兩個數之積等于相鄰后面的數，如 1×2＝2，2×2＝4，2×4＝8，4×8
＝32，所以應填 256。
例 3 觀察下面各題中數的變化規律，然后填出各題中所缺的數：
（1） 2 6 7 11 4
4 4 （ ） 1 4
3 5
5
6 4
11
（2） 2 6 1 3
3 10 2 5
4 （ ） 3 1
1 11 4 6
分析與解 （1）填這種題中所缺的數，要注意聯系行與行、列與列之間數的規律。觀
察這三行數，發現第三行的 2 倍正好等于第一行與第二行的和。因此，空格處填 5×2
－7＝3；
（2）觀察這四列數之間數的規律，發現第一列，第三列，第四列數的和等于第二
列。因此，空格處應填 4＋3＋1＝8。
例 4 在下列各圖中填出所缺的數：
（1）如圖 1：
（2）如圖 2：
（3）如圖 3：
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（4）如圖 4：
分析與解 （1）作這種題一般先看一個圖形中各數之間的關系，然后再看其他圖形中
的數是否也有這個關系，最后使幾個圖形中的關系統一，便找到了規律。
注意到圓中上面兩個數的和等于下面兩個數的積，因此第一個空白處應填（13＋8）
÷3＝7，第二個空白處應填 7×2－5＝9；
（2）用外邊三個三角形內的數去湊中心三角形內的數，實際上，外邊三個三角形
內的數的積等于中心三角形內的數的 2 倍，因此，空白處應填 4×3×6÷2＝36；
（3）注意圖中“拖拉機”的后輪（圓）與“拖拉機”之間有空隙，所以用其他三
個數進行運算，設法使結果等于“后輪”中的數。規律是：兩個三角形中的數之差（大
數減小數）與正方形中的數相乘，結果應等于圓內的數。所以空白處應填（5－4）×3
＝3；
（4）設法用三個小圓內的數進行運算，使結果等于大圓的數。規律是：三個小圓
內數的和等于大圓內數的一半。所以空白處應填（5＋6＋9）×2＝40。
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通過對上面四個例題的分析，可以總結出下面幾點：
1．對一列數變化規律的分析，一般的思考步驟是：順序對這列數中相鄰的幾個數
進行同樣的某種四則運算，將它們的運算結果依次寫下來組成新的一列數（通常這列
數的變化規律是比較明顯的），通過對這列數變化規律的分析，從而了解原來那列數
的變化規律。
2．有時要將一列數分成兩列數，分別考察它們各自的變化規律。
3．對于幾列數組成一組數變化規律的分析，需要同學們靈活地思考，規律沒有一
成不變的，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就換另一種方法接著分析。
4．對于找到的規律，那么它應該適合這列數中的所有數，不能只適用于前面幾個
數，而不適合于這列數中的其他數。
5．對于那些分布于某些圖形中的數，它們之間的變化規律往往與這些數在圖形中
的特殊位置有關，這是我們解這類題的入手點。
練習二
1．觀察下面各列數的變化規律，然后進行填空：
（1）64，48，40，36，34，______；
（2）4，7，9，11，14，15，19，______；
（3）11，12，15，______，27，36；