2.十進(jìn)制與二進(jìn)制的互相轉(zhuǎn)化
今天，當(dāng)我們寫(xiě)上一個(gè)數(shù)目 1997 時(shí)，實(shí)際上意味著我們使用了“十進(jìn)制”數(shù)，即
1997=1×1000+9×100＋9×10+7×1
也就是說(shuō)：1997 中含有一個(gè) 1000，九個(gè) 100，九個(gè) 10 與七個(gè) 1。
在表 1 中可以看到：二進(jìn)制數(shù) 10 表示十進(jìn)制數(shù) 2；二進(jìn)制數(shù) 100，表示十進(jìn)制數(shù)
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4；二進(jìn)制數(shù) 1000，表示十進(jìn)制數(shù) 8；二進(jìn)制數(shù) 10000 表示十進(jìn)制數(shù) 16；…；可
以看出規(guī)律：二進(jìn)制數(shù) 100000 應(yīng)該表示十進(jìn)制數(shù) 32，…。那么我們寫(xiě)下一個(gè)二進(jìn)制
數(shù) 10110，則應(yīng)表示它含有一個(gè) 16，一個(gè) 4 與一個(gè) 2，也就是
10110=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1
明白了上面所說(shuō)的兩點(diǎn)，則二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化的道理就容易懂了。為了
敘述的方便，我們約定：用（ ）2表示括號(hào)內(nèi)寫(xiě)的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，如（1011）2；用（ ）
10 表示括號(hào)中寫(xiě)的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如（37）10。
例 1 把（10110）2改寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)。
解 （10110）2=1×16+0×8＋1×4+1×2+0×1
=16＋4+2
=（22）10
例 2 把（1110101）2改寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)。
分析：因?yàn)槲粩?shù)太多，我們先從低位寫(xiě)起。
解 （1110101）2=1×1+0×2+1×4+0×8+1×16+1×32+1×64
=1+4+16+32＋64
＝（117）10
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從上面兩道例題可以看到：將一個(gè)二進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)的第一步驟是：將二進(jìn)
制數(shù)的各數(shù)位上數(shù)字改寫(xiě)成相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。因?yàn)槭恰皾M(mǎn)二進(jìn)一”，所以高位是相鄰
低一位數(shù)的 2 倍。一個(gè)二進(jìn)制數(shù)的各個(gè)數(shù)位（由低位到高位）對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)的規(guī)律是：
1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…
第二個(gè)步驟是將各數(shù)位上對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)求和，所得結(jié)果便是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。
再看一題。
例 3 將（110100111）2改寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)。
分析：還是由低位寫(xiě)起。
解 （110100111）2=1×1+1×2+1×4＋0×8+0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256
=1+2＋4+32+128+256
＝（423）10
下面我們介紹如何將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)改寫(xiě)成相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。
例 4 把（60）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。
解 （60）10=32＋28
=32+16+12
=32＋16＋8＋4
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=32+16+8＋4+0×2＋0×1
=（111100）2
說(shuō)明：從解題過(guò)程中立即便能看出，將十進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)的過(guò)程，正好與將
二進(jìn)制數(shù)改寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)的過(guò)程相反：先由高位開(kāi)始考慮，將十進(jìn)制數(shù)盡可能地湊出
相應(yīng)二進(jìn)制數(shù)的最高位，然后逐步往下進(jìn)行。
例 5 把（45）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。
分析：（45）10不足 64，所以它對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)的最高位是 32，即 45=32＋13，
剩下的 13 不足 16，則向下一位考慮。45=32＋0×16＋（8＋5），剩下的 5 中包含一
個(gè) 4，即 45=32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位數(shù)是 1，又不足 2，所以對(duì)應(yīng)的二進(jìn)位數(shù)
又空一位。
解 （45）10=32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1
=（101101）2
練一練：
（1）將（31）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)；
（2）將（78）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。
下面我們?cè)俳榻B一種將十進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)的常用方法--除二倒取余法。例
如要將（71）10寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)，參見(jiàn)下式。我們將 71 除以 2，余數(shù) 1 相應(yīng)寫(xiě)在右邊（如
果除盡，余數(shù)則寫(xiě) 0）；再將商 35 除以 2，余數(shù) 1 相應(yīng)寫(xiě)在右邊；再將這步的商 17
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除以 2，重復(fù)上述過(guò)程，直到商等于 1 為止。并且最后一步的商“1”也寫(xiě)到右邊余數(shù)
那一列的最下面。最后將這列余數(shù)由下到上寫(xiě)成一行數(shù)，這行數(shù)便是（71）10的二進(jìn)
制數(shù)表示法。即
（71）10=（1000111）2
例 6 用除二倒取余法將（38）10寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。
解 ∵
∴（38）10＝（100110）2
例 7 用兩種方法將（107）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。
解 方法一
（107）10=64+43
=64＋32+11
=64＋32＋0×16+8+3
=64＋32+0×16＋8＋0×4+2+1
70
＝（1101011）2
方法二 ∵
∴（107）10=（1101011）2
練習(xí)九
1.把下面的二進(jìn)制數(shù)改寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)。
①（10001）2； ②（11000）2；
③（101110）2； ④（111101）2；
⑤（1101001）2； ⑥（11011010）2。
2.把下面的十進(jìn)制數(shù)改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。
①（19）10； ②（26）10； ③（54）10；
④（81）10； ⑤（123）10； ⑥（180）10。
3.現(xiàn)有 1 克、2 克、4 克、8 克的砝碼各一枚，在天平上能稱(chēng)出多少種不同重量的
物體？想一想這是為什么？與二進(jìn)制有關(guān)嗎？
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十、二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算
同學(xué)們一定記得，剛上一年級(jí)學(xué)習(xí)加法運(yùn)算時(shí)有加法口訣到了學(xué)習(xí)乘法的時(shí)候，
又有“九九乘法口訣表”。背誦“九九表”對(duì)每個(gè)小同學(xué)來(lái)說(shuō)都是一件十分辛苦而費(fèi)
時(shí)的事，所以當(dāng)時(shí)大家都希望“九九表”能夠簡(jiǎn)單一些吧？由于我們使用的是十進(jìn)制，
所以它的四則運(yùn)算法則不可能太簡(jiǎn)單。現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了二進(jìn)制數(shù)，而二進(jìn)制數(shù)中只有
兩個(gè)獨(dú)立的符號(hào)“0”與“1”，所以二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算法則就簡(jiǎn)便多了！
加法法則：
0＋0=0；0＋1=1；
1＋0=1；1+1=10。
乘法法則：
0×0=0；0×1=0；
1×0=0；1×1=1。
上面列出的八條二進(jìn)制運(yùn)算法則可以歸納成八個(gè)字：“格式照舊，滿(mǎn)二進(jìn)一。”
利用這一規(guī)則，可以很容易地實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算。只是對(duì)于減法，當(dāng)需要向上
一位借數(shù)時(shí)，必須把上一位的 1 看成下一位的（2）10。
下面是一些例子，右邊列的是十進(jìn)制下的對(duì)照：
加法運(yùn)算：
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（100）2+（110）2＝（1010）2
1＋1=10，本位記 0，并向高位進(jìn) 1（即“滿(mǎn)二進(jìn)一”）
4＋6=10
減法運(yùn)算：
（1100）2-（1001）2=（11）2
被減數(shù)不夠減，向高位借 1 當(dāng) 2，2-1 得 1。
12-9=3