恒成立與存在性問(wèn)題方法總結(jié)

時(shí)間：2021-03-31 08:21:19 總結(jié) 我要投稿

　　高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的恒成立與存在性問(wèn)題，涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，恒成立與存在性問(wèn)題的處理途徑有多種，下面是小編整理的恒成立與存在性問(wèn)題方法總結(jié)，歡迎來(lái)參考！

恒成立與存在性問(wèn)題方法總結(jié)

　　 一、構(gòu)建函數(shù)

　　構(gòu)建適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決的問(wèn)題。

　　1、構(gòu)建一次函數(shù)

　　眾所周知，一次函數(shù)的圖像是一條直線，要使一次函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)恒大于（或小于）零，只需一次函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)端點(diǎn)處恒大于（或小于）零即可。

　　例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

　　解：構(gòu)建函數(shù)f（x）= kx+3k+1，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）在x∈（-2，2）內(nèi)恒為正。若k=0，則f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，則f（x）為一次函數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于f（-2）＞0，f（2）＞0，

　　解之得k∈（- ，+∞）。

　　例2：對(duì)m≤2的一切實(shí)數(shù)m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范圍。

　　解：原問(wèn)題等價(jià)于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，設(shè)f（m）=（x -1）m-（2x-1），則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)f（m）或常數(shù)函數(shù)在［-2，2］內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)x的取值范圍。

　　（1）當(dāng)x -1=0時(shí)，x=±1。

　　當(dāng)x=1時(shí)，f（m）＜0恒成立；當(dāng)x=-1時(shí)，f（m）＜0不成立。

　　（2）當(dāng)x -1≠0時(shí)，由一次函數(shù)的單調(diào)性知：f（m）＜0等價(jià)于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；綜上，所求的x∈（）。

　　2、構(gòu)建二次函數(shù)

　　二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，利用二次函數(shù)的圖像特征及相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決恒成立問(wèn)題，使原本復(fù)雜的問(wèn)題變得容易解決。

　　例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

　　解：構(gòu)造函數(shù)g（x）= ax +2x+1，則原問(wèn)題等價(jià)于：當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）恒大于0。

　　若a=0且x≥0，則g（x）= 2x+1＞0恒成立；

　　若a≠0，則g（x）為二次函數(shù)，當(dāng)a＜0時(shí)，顯然當(dāng)x≥0時(shí)不能使g（x）恒大于0，僅當(dāng)a＞0時(shí)，要使當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0

　　∴a的取值范圍為［0，+∞）。

　　3、構(gòu)建形如f（x）=ax+ 的函數(shù)

　　通過(guò)換元、變形，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如f（x）=ax+ 的函數(shù)的最值問(wèn)題，再合理利用該函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)來(lái)解題，常要用到如下結(jié)論：

　　（1）f（x）=ax+ 為奇函數(shù)，（2）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，f（x）在0，上遞減，在，+∞上遞增。

　　例4：若不等式x -5x-6＜a（x-4）對(duì)于x∈［-1，1］恒成立，求a的.取值范圍。

　　解：由x∈［-1，1］知：x-4＜0，則原問(wèn)題等價(jià)于：當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)，＞a恒成立，即（x-4）- +3＞a，令t=x-4，則原問(wèn)題又等價(jià)于：當(dāng)t∈［-5，-3］時(shí)，t- +3＞a恒成立，構(gòu)建函數(shù)f（t）= t- ，在t∈［-5，-3］上單調(diào)遞增，∴0≤3+f（t） ≤ ，要使3+ （t- ）＞a恒成立，只要a＜0即可。

　　二、分離參數(shù)

　　運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：

　　若對(duì)于x的取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f（x）＞g（a）恒成立，則f （x）＞g（a），若對(duì)于x的取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f（x）＜g（a）恒成立，則f （x）＜g（a）。

　　例5：若不等式|x-3|-|x+1|＜a在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立，求a的取值范圍。

　　解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+1|，則a必須大于f（x）的最大值，由f（x）=-4，x≥32-2x，-1＜x＜34，x≤-1知，f （x）=4，故a的取值范圍為（4，+∞）。

　　三、特殊賦值

　　取特殊值的方法，對(duì)做選擇題很有效，在恒成立問(wèn)題上也不失為一個(gè)好方法。

　　例7：已知實(shí)數(shù)a，b變化時(shí)，直線l ：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0恒過(guò)定點(diǎn)

　　解：∵直線l 恒過(guò)定點(diǎn)，

　　故令a=1，b=1，得3x+2y=0

　　a=0，b=1，得x+y-1=0

　　∴3x+2y=0x+y-1=0