導數的概念測試題匯編
1.函數在某一點的導數是()
A.在該點的函數值的增量與自變量的增量的比
B.一個函數
C.一個常數，不是變數
D.函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率
[答案] C
[解析] 由定義，f(x0)是當x無限趨近于0時，yx無限趨近的常數，故應選C.
2.如果質點A按照規律s=3t2運動，則在t0=3時的瞬時速度為()
A.6 B.18
C.54 D.81
[答案] B
[解析] ∵s(t)=3t2，t0=3，
s=s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332
=18t+3(t)2st=18+3t.
當t0時，st18，故應選B.
3.y=x2在x=1處的導數為()
A.2x B.2
C.2+x D.1
[答案] B
[解析] ∵f(x)=x2，x=1，
y=f(1+x)2-f(1)=(1+x)2-1=2x+(x)2
yx=2+x
當x0時，yx2
f(1)=2，故應選B.
4.一質點做直線運動，若它所經過的路程與時間的關系為s(t)=4t2-3(s(t)的單位：m，t的單位：s)，則t=5時的瞬時速度為()
A.37 B.38
C.39 D.40
[答案] D
[解析] ∵st=4(5+t)2-3-452+3t=40+4t，
s(5)=limt0 st=limt0 (40+4t)=40.故應選D.
5.已知函數y=f(x)，那么下列說法錯誤的是()
A.y=f(x0+x)-f(x0)叫做函數值的增量
B.yx=f(x0+x)-f(x0)x叫做函數在x0到x0+x之間的平均變化率
C.f(x)在x0處的'導數記為y
D.f(x)在x0處的導數記為f(x0)
[答案] C
[解析] 由導數的定義可知C錯誤.故應選C.
6.函數f(x)在x=x0處的導數可表示為y|x=x0，即()
A.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)
B.f(x0)=limx0[f(x0+x)-f(x0)]
C.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)x
D.f(x0)=limx0 f(x0+x)-f(x0)x
[答案] D
[解析] 由導數的定義知D正確.故應選D.
7.函數y=ax2+bx+c(a0，a，b，c為常數)在x=2時的瞬時變化率等于()
A.4a B.2a+b
C.b D.4a+b
[答案] D
[解析] ∵yx=a(2+x)2+b(2+x)+c-4a-2b-cx
=4a+b+ax，
y|x=2=limx0 yx=limx0 (4a+b+ax)=4a+b.故應選D.
8.如果一個函數的瞬時變化率處處為0，則這個函數的圖象是()
A.圓 B.拋物線
C.橢圓 D.直線
[答案] D
[解析] 當f(x)=b時，f(x)=0，所以f(x)的圖象為一條直線，故應選D.
9.一物體作直線運動，其位移s與時間t的關系是s=3t-t2，則物體的初速度為()
A.0 B.3
C.-2 D.3-2t
[答案] B
[解析] ∵st=3(0+t)-(0+t)2t=3-t，
s(0)=limt0 st=3.故應選B.
10.設f(x)=1x，則limxa f(x)-f(a)x-a等于()
A.-1a B.2a
C.-1a2 D.1a2
[答案] C
[解析] limxa f(x)-f(a)x-a=limxa 1x-1ax-a
=limxa a-x(x-a)xa=-limxa 1ax=-1a2.
二、填空題
11.已知函數y=f(x)在x=x0處的導數為11，則
limx0f(x0-x)-f(x0)x=________;
limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.
[答案] -11，-112
[解析] limx0 f(x0-x)-f(x0)x
=-limx0 f(x0-x)-f(x0)-x=-f(x0)=-11;
limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limx0 f(x0+x)-f(x0)x
=-12f(x0)=-112.
12.函數y=x+1x在x=1處的導數是________.
[答案] 0
[解析] ∵y=1+x+11+x-1+11
=x-1+1x+1=(x)2x+1，
yx=xx+1.y|x=1=limx0 xx+1=0.
13.已知函數f(x)=ax+4，若f(2)=2，則a等于______.
[答案] 2
[解析] ∵yx=a(2+x)+4-2a-4x=a，
f(1)=limx0 yx=a.a=2.
14.已知f(x0)=limxx0 f(x)-f(x0)x-x0，f(3)=2，f(3)=-2，則limx3 2x-3f(x)x-3的值是________.
[答案] 8
[解析] limx3 2x-3f(x)x-3=limx3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3
=limx3 2x-3f(3)x-3+limx3 3(f(3)-f(x))x-3.
由于f(3)=2，上式可化為
limx3 2(x-3)x-3-3limx3 f(x)-f(3)x-3=2-3(-2)=8.
三、解答題
15.設f(x)=x2，求f(x0)，f(-1)，f(2).
[解析] 由導數定義有f(x0)
=limx0 f(x0+x)-f(x0)x
=limx0 (x0+x)2-x20x=limx0 x(2x0+x)x=2x0，
16.槍彈在槍筒中運動可以看做勻加速運動，如果它的加速度是5.0105m/s2，槍彈從槍射出時所用時間為1.610-3s，求槍彈射出槍時的瞬時速度.
[解析] 位移公式為s=12at2
∵s=12a(t0+t)2-12at20=at0t+12a(t)2
st=at0+12at，
limt0 st=limt0 at0+12at=at0，
已知a=5.0105m/s2，t0=1.610-3s，
at0=800m/s.
所以槍彈射出槍時的瞬時速度為800m/s.
17.在曲線y=f(x)=x2+3的圖象上取一點P(1,4)及附近一點(1+x,4+y)，求(1)yx (2)f(1).
[解析] (1)yx=f(1+x)-f(1)x
=(1+x)2+3-12-3x=2+x.
(2)f(1)=limx0 f(1+x)-f(1)x
=limx0 (2+x)=2.
18.函數f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導數?若有，求出來，若沒有，說明理由.
[解析] f(x)=x+x2(x0)-x-x2 (x0)
y=f(0+x)-f(0)=f(x)
=x+(x)2(0)-x-(x)2 (0)
limx0+ yx=limx0+ (1+x)=1，
limx0- yx=limx0- (-1-x)=-1，
∵limx0- ylimx0+ yx，x0時，yx無極限.
函數f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處沒有導數，即不可導.(x0+表示x從大于0的一邊無限趨近于0，即x0且x趨近于0)
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