數(shù)列求和公式方法總結(jié)

時(shí)間：2024-02-23 10:10:29 林惜總結(jié) 我要投稿

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有關(guān)數(shù)列求和公式方法總結(jié)

　　總結(jié)是指社會(huì)團(tuán)體、企業(yè)單位和個(gè)人在自身的某一時(shí)期、某一項(xiàng)目或某些工作告一段落或者全部完成后進(jìn)行回顧檢查、分析評(píng)價(jià)，從而肯定成績(jī)，得到經(jīng)驗(yàn)，找出差距，得出教訓(xùn)和一些規(guī)律性認(rèn)識(shí)的一種書(shū)面材料。以下是小編精心整理的數(shù)列求和公式方法總結(jié)，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

有關(guān)數(shù)列求和公式方法總結(jié)

　　一、分組轉(zhuǎn)化求和法

　　若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí)可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項(xiàng)――重新分組――求和合并。

　　例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

　　解由和式可知，式中第n項(xiàng)為an=n（3n+1）=3n2+n

　　∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

　　=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

　　=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

　　=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

　　=n（n+1）2

　　二、奇偶分析求和法

　　求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，如果需要對(duì)n進(jìn)行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。

　　例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　分析：觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項(xiàng)數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項(xiàng)求和法求的結(jié)果。

　　解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

　　=-n2-n2+n2+n2=n

　　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

　　=-n2+n2+n2-n2=-n

　　綜上所述，Sn=（-1）nn

　　三、并項(xiàng)求和法

　　一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn中，某些項(xiàng)合在一起就具有特殊的性質(zhì)，因此可以幾項(xiàng)結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項(xiàng)求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項(xiàng)合并求解。如例3中可用并項(xiàng)求和法求解。

　　例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

　　解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

　　=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

　　四、基本公式法

　　如果一個(gè)數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項(xiàng)為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。

　　常用公式有

　　（1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

　　（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

　　（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

　　（4）1+3+5+…+2n-1=n2

　　（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

　　（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

　　（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

　　例1：已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=12n-1，設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求Sn。

　　解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

　　∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

　　五、裂項(xiàng)相消法

　　如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式能拆分成兩項(xiàng)差的形式，并且相加過(guò)程中可以互相抵消至只剩下有限項(xiàng)時(shí)，這時(shí)只需求有限項(xiàng)的和，把這種求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的方法叫做裂項(xiàng)相消法。

　　裂項(xiàng)相消法中常用的拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化公式有：

　　（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

　　（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

　　（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

　　（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），其中n∈N，k∈R且k≠0

　　例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

　　解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

　　∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

　　=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

　　=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

　　=2（1-1n+1）=2nn+1

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